В Красной Армии с 1936 года. В 1938 году окончил Качинскую военную авиационную школу пилотов. Участник советско-финской войны 1939—1940 годов.
На фронтах Великой Отечественной войны с июня 1941 года. Командир звена 147-го истребительного авиационного полка лейтенант А. П. Поздняков к сентябрю 1941 года совершил 138 боевых вылетов на штурмовку и бомбардировку живой силы и техники противника. В воздушных боях сбил лично 2 вражеских самолёта.
….8 апреля 1942 года Поздняков вылетел во главе шестёрки истребителей P-40 «Томахаук-IIB» на отражение налёта вражеской авиации на Мурманск. В районе посёлка Рестикент советские лётчики перехватили 15 немецких бомбардировщиков Ju-87 в сопровождении 5 истребителей Me-110. Разгорелся неравный воздушный бой. С первой же атаки Поздняков сбил «мессершмитт». Другой сбил таранным ударом гвардии лейтенант А. С. Хлобыстов Но враг продолжал рваться к Мурманскому порту. Преследуя их, Поздняков в группе с Хлобыстовым и гвардии лейтенантом И. Д. Фатеевым подожгли один «юнкерс». Неожиданно из облаков выскочила ещё восьмёрка «мессершмиттов». Поздняков повёл на них свою группу в лобовую атаку. Когда головные машины были уже рядом, враг не выдержал и попытался отвернуть в сторону, но не успел. От лобового тарана «мессершмитт» разлетелся на куски. При таране капитан Поздняков погиб.Всего Алексей Поздняков совершил 222 боевых вылета (104 – на штурмовку, 52 – на прикрытие своих войск и наземных объектов, 27 – на разведку). Провёл 11 воздушных боёв, сбил 2 самолёта лично и 6 – в группе.
Похоронен в п.г.т. Мурмаши Кольского района Мурманской области. На могиле установлен обелиск. Звание Героя Советского Союза гвардии капитану Алексею Павловичу Позднякову присвоено посмертно 6 июня 1942 года за таран самолёта противника. Награждён орденами Ленина и Красного Знамени.
На доме № 7 по улице Алексея Позднякова в городе Мурманске установлена мемориальная доска.
В честь капитана Позднякова названы улицы в городе Мурманске и в посёлке Мурмаши (Мурманская область).
На доме № 1 по улице Позднякова в посёлке Мурмаши установлена мемориальная доска.
В посёлке Мурмаши установлен обелиск.
На территории бывшей советской авиабазы Пютниц (Германия) установлен его барельеф.
В родном селе Алексея Позднякова в его честь названа улица и установлена мемориальная доска.
Литература:
• Бескоровайный А. И. В небе Севера. — М.: ДОСААФ, 1986.
• Бескоровайный А. И. И в сердце каждом отзовётся. — М.: Воениздат, 1990.
• Бессмертные подвиги. — М.: Воениздат, 1980.
• Герои ленинградского неба. — Л.: Лениздат, 1984.
• Героям Родины — слава! — Петрозаводск: Карелия, 1985.
• Дьячков Л. Г. Наша гордость и слава. Воронеж, 1968.
• Иноземцев И. Г. В небе Заполярья и Карелии. — М.: Воениздат, 1987.
• Иноземцев И. Г. Крылатые защитники Севера. — М.: Воениздат, 1975.
• Иноземцев И. Г. Тараны в северном небе. — М.: Воениздат, 1981.
• Котельников В. Р., Лейко О. Истребитель P-40. — М.: Крылья-дайджест, 1996.
• Лётчики. — 2-е изд. — М.: Молодая гвардия, 1981.
• На грани возможного. — 2-е изд., испр. и доп. — М.: «Лимб», 1993.
• Симонов К. М. Мурманское направление. — Мурманск: 1972.
• Солдаты славы не искали. — М.: Московский рабочий, 1970.
• Поздняков Алексей Павлович // Авиационная энциклопедия в лицах / Отв. А. Н. Ефимов. — Москва: Барс, 2007. — С. 474. — 712 с. — ISBN 978-5-85914-075-6.
• Поздняков Алексей Павлович. www.warheroes.ru. Дата обращения: 21 октября 2020.
