Тимур Автандилович родился 4 марта 1954 года в г. Тбилиси. Детские и юношеские его годы прошли в Ленинграде. По окончании восьми классов средней школы он учился в Ленинградском Нахимовском военно-морском училище.
В 1971-1975 годах Апакидзе – курсант Ейского высшего военного авиационного училища летчиков имени В. М. Комарова. По окончании училища ему было присвоено воинское звание «лейтенант-инженер», и он получил назначение в ВВС Балтийского флота.
В октябре 1975 года Тимур Апакидзе прибыл в г. Остров Псковской области на должность летчика недавно сформированного штурмового морского авиационного полка. Служил здесь около пяти лет. В мае 1980 года полк по директиве Министерства обороны перебазируется из г. Острова в пос. Чкаловск Калининградской области. Так заканчивается служба Апакидзе на Псковщине.
Впоследствии он, имея звание подполковника, обучается в Военно-морской академии имени А. А. Гречко в Ленинграде, служит в Крыму в полку, где готовили летчиков палубных самолетов, а также в Центре боевого применения корабельной авиации.
В 1991 году Апакидзе первым из летчиков авиации ВМФ России совершил на самолете посадку на палубу авианосца «Адмирал Кузнецов» на Черном море. За умелое испытание новой авиационной техники, за проявленные при этом мужество и героизм Тимуру Автандиловичу Апакидзе, тогда – полковнику, 17 августа 1995 года было присвоено звание – Герой Российской Федерации.
Тимур Автандилович обладал уникальным сочетанием лучших человеческих качеств и талантом военачальника, освоил 12 типов самолетов, совершил более 300 посадок на палубу авианосца.
В 1998-2000 годах Т. А. Апакидзе учится в Москве в Академии Генерального штаба Вооруженных Сил Российской Федерации. После ее окончания он, генерал-майор, был назначен на должность заместителя командующего Морской авиацией Военно-Морского Флота. Ему было присвоено почетное звание – «Заслуженный военный летчик Российской Федерации».
17 июля 2001 года в г. Острове был авиационный праздник, посвященный 85-летию Морской авиации Российского Военно-морского Флота. Апакидзе прибыл в Остров, где начинал свою службу, чтобы принять участие в торжествах, совершить показательный полет на самолете СУ-33. Тот полет, к сожалению, из-за технических неполадок в машине оказался для него последним. Трагедия произошла после выполнения фигур высшего пилотажа, при заходе на посадку самолет разбился, летчик погиб.
Островичи бережно хранят память о Герое России Т. А. Апакидзе. В его честь названа одна из улиц города. Увековечено его имя и в необычном музее под открытым небом в одном из островских парков. Первым экспонатом этого музея стал реактивный самолет, на котором в свое время летал Тимур Автандилович. На месте его гибели, в нескольких километрах от Острова, рядом с деревней Черепягино, появился посвященный ему мемориальный комплекс.
Похоронен Тимур Автандилович Апакидзе в Москве, на Троекуровском кладбище.
Имя Тимура Апакидзе присвоено улице, на которой он жил в Североморске-3, а также мурманской школе №57. В Североморске на площади Сафонова установлен его бюст.